A equação da onda

   Em 1727, o matemático suíço Johann Bernoulli estudou a corda de um violino e descobriu que a vibração mais simples daquela corda era uma curva de seno.

Movimento de uma onda

  Uma das maiores aplicações dessa equação diz respeito ao estudo de terremotos, permitindo que sismólogos possam detectar o que está acontecendo com a Terra, centenas de quilômetros abaixo do solo.

  A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem importante que descreve a propagação das ondas – tais como ocorrem na física – tais como ondas sonoras, luminosas ou aquáticas. Ela surge em áreas como a acústica, electromagnetismo, e dinâmica dos fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrante como as de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d'Alembert,Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.

Onda estacionária

  Equações de onda são exemplos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, mas existem muitas variações.

  Na sua forma mais simples, a equação de onda diz respeito a uma variável de tempo t, uma ou mais variáveis ​​espaciais x₁, x₂, …,x_n, e uma função escalar u = u (x₁, x₂, …, x_n; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda.

Soluções desta equação que são inicialmente zero, fora de alguma região restrita, propagar-se-ão na região a uma velocidade fixa em todas as direções espaciais, assim como ondas físicas a partir de uma perturbação localizada, a constante c é identificada com a velocidade de propagação da onda. Esta equação é linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas soluções é novamente uma solução: na física esta propriedade é chamada princípio da superposição.

A equação sozinha não especifica uma solução, uma solução única é normalmente obtida pela fixação de um problema com outras condições, tais como condições iniciais, que prescrevem o valor e a velocidade da onda. Outra classe importante de problemas especifica as condições de contorno, para as quais as soluções representam ondas estacionárias, ou harmônicos, análogos aos harmônicos de instrumentos musicais.

Equação completa da onda

Teorema de Pitágoras

  O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

  O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

  Esse teorema é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

• Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
• Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

O teorema fundamental do cálculo

  O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isto significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequência importante disto, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo, permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Em seu livro de 2003 (pág.393), James Stewart credita a ideia que conduziu ao teorema fundamental ao matemático inglês Isaac Barrow apesar da primeira prova conhecida deste teorema ser reconhecida ao matemático escocês James Gregory.

“Em termos simples, ela diz que a mudança geral de uma quantidade contínua, como a distância percorrida, sobre um determinado intervalo, é igual à integral da taxa de mudança daquela quantidade, ou seja, a integral da velocidade”, aponta Melkana Brakalova-Trevithick, chefe do departamento de matemática da Universidade Fordham (EUA), que escolheu esta equação como sua favorita. “O teorema fundamental do cálculo permite que a gente determine a alteração geral sobre um intervalo baseado na taxa de mudança sobre o intervalo inteiro”, diz.

As sementes do cálculo vêm de tempos antigos, mas a maior parte dele foi apresentado no século 17 por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (independentemente). Newton usou o cálculo para descrever o movimento dos planetas em torno do sol e Leibniz criou o cálculo para descobrir a área de gráficos de funções (por exemplo, calcular a área delimitada pela linha representada pela função seno e o eixo das abscissas, ou “x”).

Equação da Relatividade

  Em Física, a relatividade geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton, publicada em 1915 por Albert Einstein. A nova teoria leva em consideração as ideias descobertas na Relatividade restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da relatividade do movimento para sistemas que incluam campos gravitacionais. Esta generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço-tempo, levando, entre outras conclusões, a de que a matéria (energia) curva o espaço e o tempo à sua volta. Isto é, a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

  A equação abaixo foi formulada por Albert Einstein como parte da revolucionária Teoria Geral da Relatividade, em 1915. A teoria mudou a forma como os cientistas entendem a gravidade, ao descrever a força como sendo uma deformação no tecido do espaço-tempo.

O astrofísico Mario Livio, do Space Telescope Science Institute, que escolheu esta equação como sua favorita, aponta que toda a genialidade de Einstein está nela.

“O lado direito da equação descreve o conteúdo de energia do nosso universo, incluindo a energia escura que descreve a aceleração cósmica, e o lado esquerdo descreve a geometria do espaço-tempo. A igualdade reflete o fato que na relatividade geral de Einstein, a massa e energia determinam a geometria, e concomitantemente a curvatura, que é uma manifestação do que chamamos gravidade”, diz Livio.

Kyle Cranmer, físico da Universidade Nova Iorque (EUA), acrescenta que a equação revela a relação entre espaço-tempo, matéria e energia. “Esta equação diz como tudo está relacionado – como a presença do sol deforma o espaço-tempo de forma que a Terra se mova em torno do mesmo em uma órbita, etc. Também diz como o universo evoluiu desde o Big Bang e prediz que devem haver buracos negros nele”.

Isaac Newton

Isaac Newton

  Nasceu em 4 de janeiro de 1643 na Inglaterra em uma família de agricultores. Como seu pai morreu antes do seu nascimento, ele foi criado pela avó.

Em 1661 foi para Cambridge. Estudou a filosofia de Aristóteles, Descartes, Gassendi, Boyle, Viète(álgebra e geometria analítica), Wallis, Copérnico e Galileu (astronomia) e Kepler.

Em 1665, Isaac Newton começou a se aprofundar na matemática, ótica, física e astronomia.

Seus esforços valeram a pena, pois em 1669 (com 27 anos) foi nomeado para substituir o colega Isaac Barrow e ocupar a cadeira Lucasiana de Matemática em Cambridge.

 Em 1672, foi eleito membro da Sociedade Real após doar um telescópio refletor. Ainda neste ano, ele publicou seu primeiro trabalho sobre luz e cor.

 Em 1687, foi publicado “Principia”, considerado o livro científico mais importante que já foi escrito.

 Em 1693, ele sofreu um colapso nervoso e abandonou a pesquisa para ocupar uma posição no governo em Londres (Guardião da Moeda Real – 1696 e Mestre – 1699).

 Em 1703, foi eleito Presidente da Sociedade Real sendo reeleito todos os anos até a sua morte em 31 de março de 1727.

Alguns de seus estudos e pesquisas

•  Telescópio de reflexão
•  Decomposição da luz pelos prismas
•  Formação de uma hipótese sobre a natureza da luz
•  Teorema do binômio e do cálculo integral e diferencial

A vida deste grande homem pode ser dividida em 3 etapas:

• 1643 – 1669: da juventude até a graduação
• 1669 – 1687: quando foi professor Lucasiano em Cambridge
• 1693 em diante: funcionário do Governo

Seu maior trabalho foi o “Estudo da Lei da Gravitação Universal”. Através deste estudo, ele concluiu que os corpos celestes se atraem de acordo com suas massas e suas distâncias.

Segundo Newton: “O equilíbrio do universo é garantido pela gravidade”.

Carl Gauss

  Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 de abril de 1777 — Göttingen, 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletrostática, astronomia e óptica.

Carl Friedrich Gauss era filho de camponeses pobres, mas encontrou apoio de sua mãe e de seu tio para estudar, apesar das objeções paternas. É um dos casos mais espantosos de precocidade registrados na história da matemática, contando-se que já aos três anos de idade era capaz de efetuar algumas operações aritméticas.

Carl Gauss

  Aos dez anos, Gauss iniciou seus estudos de aritmética, espantando ao seu mestre, Buttner, pela facilidade com que completava complicadas operações. Buttner tinha, nessa época, um jovem assistente, de 17 anos, Johann Martin Bartels, apaixonado pela matemática, a quem entregou a tarefa de ensinar ao precoce Gauss. Entre os dois moços firmou-se sólida amizade, que durou até a morte de Bartels. Tendo amigos influentes, Bartels fez com que Gauss se tornasse conhecido do duque de Braunschweig, Carl Wilhelm Ferdinand, que o protegeu até sua morte, garantindo recursos para que continuasse a estudar e tivesse meios de subsistência.

  Em 1792, Gauss ingressou no Collegium Carolinum, onde permaneceu por três anos, estudando as obras mais notáveis de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac Newton. É nesse período que Gauss principia suas investigações sobre aritmética superior, que o tornariam imortal e lhe dariam o título de "príncipe da matemática".

Gauss deixou o Collegium Carolinum em outubro de 1795, para entrar na Universidade de Göttingen. Em 1796 define suas preferências definitivamente, decidindo dedicar-se à matemática. No dia 30 de março desse ano, Gauss começa a redigir um diário científico, anotando as suas descobertas. Esse diário só foi divulgado 43 anos após a morte de Gauss, quando, para isso, a Sociedade Real de Göttingen obteve a permissão do neto de Gauss. O diário contém 146 anotações, breves exposições dos descobrimentos feitos pelo seu autor no período de 1796 a 1814.

  Os três anos passados em Göttingen foram dos mais prolíficos de sua vida. As ideias que vinha recolhendo desde os 17 anos, foram, nessa época, ordenadas e esmiuçadas, resultando, em 1798, as Indagações Aritméticas, por muitos considerada a obra-prima de Gauss.

  Uma segunda fase da vida de Gauss tem início no primeiro dia do século 19. Giuseppe Piazzi, astrônomo italiano, descobriu um pequeno planeta, Ceres, o primeiro de vários planetas menores hoje conhecidos. A observação do corpo celeste era extremamente difícil, e calcular sua órbita, partindo dos poucos dados obtidos, uma tarefa digna de um gênio. Gauss investigou a órbita, vendo todos os seus cálculos confirmados.

  Gauss casou-se, pela primeira vez, em 1805, quando seu protetor, o duque de Braunschweig, aumentou sua pensão. Nesse mesmo ano, porém, o duque faleceu e o matemático precisou encontrar um meio de manter a família. A sua fama já se espalhara pela Europa e Gauss recebeu convite para ocupar o posto que fora de Euler, em São Petersburgo, mas acabou aceitando a direção do Observatório de Göttingen.

  Os anos de 1811 e 1812 foram os melhores de sua vida, desfrutando Gauss de certa tranquilidade. Logo após seu segundo matrimônio, foi observado o cometa de 1811 e Gauss teve a satisfação de constatar que o astro seguia exatamente a trajetória por ele calculada.

No período de 1821 a 1848, Gauss foi conselheiro científico dos governos de Hannover e da Dinamarca, completando minuciosos estudos de geodésia, que o levaram a examinar, em toda a sua generalidade, problemas relativos às superfícies curvas e a questão da representação conforme.

Gauss faleceu lúcido e cônscio da importância de seus trabalhos, aos 78 anos de idade.

Principais trabalhos

Investigando uma questão aparentemente simples - quantos dígitos tem o período de uma decimal periódica? -, Gauss descobre a lei da reciprocidade quadrática e introduz a terminologia das congruências.

Aos 18 anos inventa o método dos mínimos quadrados, indispensável para as medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à distribuição dos erros, e sua curva normal (em forma de sino) são amplamente conhecidas de todos os que estudam estatística.

Algumas anotações de seu diário mostram que ele descobriu a dupla periodicidade de certas funções elípticas. E outra anotação comprova que ele já havia considerado essa periodicidade no caso geral. Esses descobrimentos, contudo, não chegaram a ser divulgados, não se sabe por qual motivo.

Em 1812, Gauss publica seus estudos sobre as séries hipergeométricas. O interesse de tais séries está em que englobam, como casos particulares, muitas das séries mais notáveis da análise (entre as quais as que permitem cálculo e construção de tabelas de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais).

Gauss também abriu novos rumos com a invenção de um tipo novo de números, osinteiros complexos gaussianos, da forma a+bi, em que "a" e "b" são inteiros racionais e "i" a unidade imaginária.

Gauss possuía, ainda, grande habilidade manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou alguns instrumentos de observação, utilizados na astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e descobriu o telégrafo elétrico.

Exemplo do espírito afeito ao rigor, Gauss está ao lado de Arquimedes e Newton como um dos três gênios da matemática de todos os tempos.

Évarist Galois

Évarist Galois

  Évarist Galois nasceu nas proximidades de Paris, na aldeia de Bourg la-Reine, onde seu pai era prefeito. Aos 12 anos mostrava pouco interesse por Latim, Grego e Álgebra mas a Geometria de Legendre o fascinava. Aos 16 anos, julgando-se em condições, procurou entrar na Escola Politécnica mas foi recusado por falta de preparo e isto marcou o seu primeiro fracasso. Aos 17 anos escreveu um artigo onde expôs suas descobertas fundamentais entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia. Cauchy perdeu seu trabalho e com isto veio o seu segundo fracasso marcante. Logo mais perdeu o pai que, devido a intrigas clericais, se suicidou. Desiludido, Gaiois entrou na Escola Normal para preparar-se a fim de ensinar, sempre continuando com suas pesquisas.
    Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemática da Academia entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foí perdido. Com tantas frustrações Galois acabou por aderir às causas da revolução de 1830, foi expulso da Escola NormaL e mais tarde entrou para a guarda nacional. Galois iniciou suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permutações de raízes, o que lhe deu condições necessárias e suficientes para concluir que equações polinomiais são resoluveis por radicais e, baseado nas provas de Abel, descobriu que as equações algébricas irredutíveis são resoluveis por radicais somente se o grupo de permutações sobre suas raízes também é resoluvel. Sobre isso forneceu um algoritmo para achar essas raízes, assim como outros postulados sempre voltados mais para a estrutura algébrica do que para casos específicos, dando um tratamento aritmético à Álgebra. Em suas obras está ímplícito o conceito de "corpo" que mais tarde Dedekínd definiria de forma explícita.
    Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sua teoria e este o classificou de "incompreensível" mas hoje o que chamamos de "Matemática Moderna" nada mais é do que as idéias de Galois que estão chegando até nós.
    Em 1832, envolvendo-se com uma mulher, em nome de um código de honra, não pode evitar um duelo. Na noite anterior passou as horas rascunhando notas para a posteridade numa carta a seu amigo. Na manhã de 30 de maio encontrou seu adversário recebendo um tiro fatal. Socorrido por um camponês, morreu num hospital para onde foi levado, aos 20 anos de idade.